MATLAB-TEOREMA DE NYQUIST

El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon,  es un teorema fundamental de la teoria de la informacion.

El teorema trata con el muestreo, que no debe ser confundido o asociado con la cuantificación, proceso que sigue al de muestreo en la digitalización de una señal y que, al contrario del muestreo, no es reversible.

Desde el punto de vista del teorema, las muestras discretas de una señal son valores exactos que aún no han sufrido redondeo o truncamiento alguno sobre una precisión determinada, esto es, aún no han sido cuantificadas.

El teorema demuestra que la reconstrucción exacta de una señal periódica continua en banda base a partir de sus muestras, es matemáticamente posible si la señal está limitada en banda y la tasa de muestreo es superior al doble de su ancho de banda.

Si la frecuencia más alta contenida en una señal analógica Xa(t)  es Fmax = B  y la señal se muestrea a una tasa Fs>2Fmax =2B , entonces  se puede recuperar totalmente a partir de sus muestras mediante la siguiente función de interpolación:

Así, Xa ( t ) se puede expresar como:

donde Xa(n/Fs)=Xa(nT)=X(n) son las muestras de Xa ( t ) .

Hay que notar que el concepto de ancho de banda no necesariamente es sinónimo del valor de la frecuencia más alta en la señal de interés. A las señales para las cuales esto sí es cierto se les llama señales de banda base, y no todas las señales comparten tal característica.

Si el criterio no es satisfecho, existirán frecuencias cuyo muestreo coincide con otras (el llamado aliasing).

Figura 1. Ejemplo de reconstrucción de una señal de 14,7 kHz (línea gris discontinua) con sólo cinco muestras y están ponderadas al a su  valor  correspondiente muestra (el máximo de cada función pasa por un punto azul que representa la muestra).

Desarrollo en MATLAB.

Usando como base una frecuencia de muestreo de 5000 Hz, graficamos 4 funciones con una frecuencia de 4Hz; un seno, un diente de sierra, una onda cuadrada y una seno cardinal empleando el programa de la figura 2.                                                        

Figura 2. Programa para corroborar el teorema de Nyquist.

Obtuvimos las imágenes que se muestran en la figura 3.

Figura 3. Gráficas de funciones con frecuencia de 4 Hz a una frecuencia de muestreo de 5000Hz.

A continuación, cambiamos la frecuencia de las 4 funciones a 4000Hz, para que fueran de una frecuencia cercana a la frecuencia de muestreo, obteniendo las graficas que se muestran en la figura 4.

Figura 4. Gráficas de funciones con frecuencia de 4000 Hz a una frecuencia de muestreo de 5000Hz.

Por último, redujimos tanto la frecuencia de muestreo como la frecuencia de las funciones, la frecuencia de muestreo a 10Hz y la frecuencia de las funciones a 4Hz, obteniendo las graficas mostradas en la figura 5.

Figura 5. Gráficas de funciones con frecuencia de 4Hz a una frecuencia de muestreo de 10 Hz.